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  1、2.3.2 方形共焦腔中安闲现方式的近似解,由于大多数中、小功率的激光器都选用安稳球面腔，故它的方式理论具有更广泛和更重要的实践含义。 首要介绍方形镜共焦腔自再现模积分方程的解析解，评论它们的自再现模以及自再现模而激起的行波场的特征。,1 方形镜对称共焦腔,方形镜对称共焦腔的两个凹面反射镜的孔径是方形的，故镜面坐标选用直角坐标。,由图可见：,(2.3.11),(2.3.10),而P1P1与P2P2可近似以为等于图示中的1与2，运用球面镜的几许联络，可推出的核算公式为：,近似条件为Rr， 将表达式用于方形镜共焦腔，并注意到RlR2L有：,(2.3.12),(2.3.12),将(2.3.11)式和

  2、(2.3.12)式代入(2.3.10)式中，可得,再将此式代入积分方程(2.3.5)中，便有线a的方形镜对称共焦腔的积分方程为：,(2.3.14),按博伊德和戈登的方法来进行变数代换，取,并做如下变量别离：,将积分方程变成两个一维的积分方程,N,由于两个方程的方式相同，故只需求解其间一个就可以。当c值为有限巨细时，该方程本征函数的准确解析解为：,(2.3.20),l,l,本征值的准确解析解为,这些椭球函数都为实函数。当c1时上述本征函数与本征值的准确解都可用近似解析解表明，其间本征函数的解在用x、y代回X、Y后为：,(2.3.22),式中Cm,l与方式有关的常数； Hm()第m阶厄米多

  4、不同坐标来核算，一般界说沿x、y方向的光斑半径分别为：,可见，阶次越高，光斑半径越大，光强散布越违背中心。,2相位散布,由于uml(x,y)为实函数，阐明镜面各点的光场相位相同，共焦腔反射镜面自身构成光场的一个等相位面。,(二)单程衍射损耗,评论单程衍射损耗，ml必须用准确解(2.3.22)式。ml与N有关，阐明ml也与N有关。ml与N联络的核算曲线,方形镜共焦腔ml与N联络曲线)对同一方式，ml随N的增大急剧减小。 (2)N相一起，基模的最小，阶次越高越大。,(3)与平行平面腔比较，共焦腔的单程衍射损耗要小好几个数量级。,N,(三) 单程相移与谐振腔,可得方形镜共焦腔单

  5、程附加相移为,(2.3.27),单程相移,可见其附加相位超前，其超前量随横模阶数而变，但与N无关，这一点与平面腔不一样。,由式（2.3.27）可得：,可得方形镜共焦腔的谐振频率：,共焦腔对谐振频率呈现了高度简并的现象。即一切2q+m+l持平的方式都将具有相同的谐振频率。,(四)、方形镜共焦腔的行波场,求出镜面上的光场今后，运用菲涅耳一基尔霍夫衍射积分公式可求出腔内任一点的光场。 博伊德和戈登证明，方形镜共焦腔的这个核算结果，也便是行波场可用以下解析式表明(坐标原点选在腔轴线的中点) 腔表里任一点的光场均可以由以下解析式求解。,式中Cml为与方式有关的常数， 0/(z) 称为衰减因子，它反映出

  6、跟着行波场的传达，场振幅的巨细衰减的规则。 (z)是z坐标处的基模光斑半径引进=2z/L=z/z0，核算公式为,(2.3.29),0为z0处的基模光斑半径，可看出0为(z)的最小值，故又称腰斑半径。L为共焦腔腔长，z0为共焦腔凹面反射镜的焦距，巨细刚好等于腔长L的一半， z0 又称共焦腔的焦参数。 两个反射镜面处的z坐标为zL/2，由上式可算出镜面处基模光斑半径os与腰斑半径0的联络为：,称为横向振幅散布因子，它反映出各方式在不同z坐标处的横截面内的振幅散布。它是厄米高斯散布。,第二部分,(2.3.30),第三部分,称为位相因子,等相位面方程,疏忽由于z的细小改变引起的改变，有,抛物面方程,(

  7、2.3.34),在腔轴邻近，可以证明上式所描绘的共焦场的等相位面是个球面，在与腔轴z0坐标处的等相位面的曲率半径便是(z1)。它随z1坐标而变，核算公式为：,（2.3.36）,抛物面的顶点在z=z1处，焦距为,（2.3.35）,界说双曲线的两条渐近线之间的夹角为光束发射全角，则,附加相移与横模方式有关。,（2.3.32）,由（2.3.30）,得：,（2.3.38）,例如共焦腔氦氖激光器腔长L30cm，0.6328m，则2310-3rad。 高阶模的发散角是跟着模的阶次的增大而增大，所以多模振动时，光束的方向性要比单基模振动差。,模体积,模体积指的是该方式在腔内所能扩展的空间规模。模体积越大，说

  8、明对该方式的振动有贡献的激活粒子就越多，因而可取得越大的输出功率。 对称共焦腔的基模模体积一般可以用下式进行预算：,高阶模模体积则为：,圆形镜对称共焦腔,圆形镜对称共焦腔两反射镜孔径为圆形，设半径为a，镜面处坐标以极坐标为宜。它的积分方程可由方形镜积分方程(3-2-5)式动身，令 x=rcos , yrsin ，xrcos ，yrsin ，然后得到:,别离变量可将u(r， )写成如下方式,可以证明，当腔菲涅耳数N时，圆形镜共焦腔积分方程的本征函数的近似解析解可表明为拉盖尔一高斯函数,其间Rml所满意的积分方程可证明为：,Llm()称为缔合拉盖尔多项式，现写出几个多项式如下：,本征值的近似解为,

  9、行波场的特征,圆形镜共焦腔的行波场为,横向振幅散布因子,位相因子,2.4.1 谐振腔往复一周改换矩阵的本征态,2.4 本征方式的几许光学理论、安稳球面腔,安稳腔（A+D2,本征光束是：球面波（点光束） 长处：1、有很大的模体积； 2、直接运用腔的衍射损耗耦合输出； 3、可输出准直性很好的光束； 4、横模损耗距离比安稳腔大，易进行横模挑选。,本征值,安稳腔：,非安稳腔解为实数，所以对应的本征态是实曲率半径R的球面波：,（2.5.2）,（2.5.5）,（2.5.4）,将非稳腔往复一周改换矩阵代入(2.5.4),可以取得M1处的几许自再现波型的曲率半径,（2.5.9）,当g1g21或许(A+D)2， 取“+”号 当g1g20或许(A+D)0是正的；反之l0,（2.5.10）,（2.5.8）,可解得:,（2.5.11）,2.5.2 非稳腔的几许损耗,设m1是镜M1的单程放大率， m2是镜M2的单程放大率,往复一周的放大率M为,（2.5.15）,（2.5.17）,考虑宽度分别为2a1和2a2的两个相互平行的无限长窄条形镜的状况。从初等几许光学可知，所反射的能量份额是,往复一周能量损耗是,（2.5.19）,（2.5.22）,（2.5.23）,假如镜面积与其线平方成正比，这时相应的公式为往复一周能量损耗是,（2.5.24）,

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